Teori Konvolusi Pada Pengolahan Citra

Pada pembahasan kali ini mengenai konsep matematis yang melandasi teori pengolahan citra. Dua operasi matematis penting yang perlu dipahami dalam mempelajari pengolahan citra digital adalah operasi konvolusi. Konvolusi terdapat pada operasi pengolahan citra yang mengalikan sebuah citra dengan sebuah mask atau kernel (akan dijelaskan kemudian).

Operasi yang mendasar dalam pengolahan citra adalah operasi Konvolusi. Konvolusi 2 buah fungsi f(x) dan g(x) dedefinisikan sebagai berikut :

yang dalam hal ini tanda * menyatakan operasi konvolusi, dan peubah (variabel) a adalah peubah bantu (dummy variabel).

untuk fungsi diskrit, konvolusi didefinisikan sebagai

Pada operasi konvolusi di atas, g(x) disebut kernel konvolusi atau kernel penapis (filter). Kernel g(x) merupakan suatu jendela yang dioperasikan secara bergeser pada sinyal masukkan f(x), yang dalam hal ini, jumlah perkalian kedua fungsi pada setiap titik merupakan hasil konvolusi yang dinyatakan dengan keluaran h(x).


Contoh konvolusi yang lain adalah dengan fungsi delta. Ada dua macam fungsi delta : delta Dirac dan delta Kronecker.


Fungsi delta Dirac disebut juga fungsi denyut (impuls). Fungsi ini bernilai 0 untuk, dan "lebar" denyut sama dengan 1. Secara matematis fungsi delta Dirac didefinisikan sebagai



Sifat-sifat fungsi delta Dirac :



Fungsi delta Dirac adalah fungsi dengan daerah asal bilangan riil. Bila kita bekerja dengan fungsi diskrit, maka fungsi delta yang digunakan adalah fungsi delta Kronecker, yang didefinisikan sebagai





dengan sifat




Bentuk dwimatra dari fungsi delta diperoleh dengan mengalikan bentuk satumatranya :


Dirac : d(x,y) = d(x)d(y)

Kronecker : d(m,n) = d(m) d(n)
Hasil konvolusi fungsi f(x) pada Gambar (a) dengan fungsi g(x) = d(x+T) + d(x) + d(x-T) pada Gambar (b) ditunjukkan pada Gambar (c).

Salah satu penggunaan fungsi delta adalah melakukan penerokan (sampling) pada sinyal malar f(x). Prosses penerokan umumnya dilakukan pada periode yang tetap. Jika sinyal malar f(x) diterok dengan periode tetap T, maka diperoleh serangkaian nilai diskrit fd(n):





Konvolusi Pada Fungsi Dwimatra

Untuk fungsi dengan dua peubah (fungsi dua dimensi atau dwimatra), operasi konvolusi didefinisikan sebagai berikut :

a) Untuk fungsi malar

b) untuk fungsi diskrit

Fungsi penapis g(x,y) disebut juga convolution filter, convolution mask, convolution kernel, atau template. Dalam ranah diskrit kernel konvolusi dinyatakan dalam bentuk matriks (umumnya 3X3, namun ada juga yang berukuran 2 x 2 atau 2 x 1 atau 1 x 2). Ukuran matriks ini biasanya lebih kecil dari ukuran citra. setiap elemen matriks disebut koefisien konvolusi.


Ilustrasi konvolusi ditunjukkan pada Gambar 13. f(i,j) = Ap1 + Bp2 + Cp3 + Dp4 + Ep5 + Fp6 + Gp7 + Hp8 + ip9

Gambar 13. Ilustrasi Konvolusi

Operasi konvolusi dilakukan dengan menggeser kernel konvolusi pixel per pixel. Hasil konvolusi disimpan di dalam matriks yang baru.

Contoh. Misalkan citra f(x,y) yang berukuran 5 x 5 dan sebuah kernel atau mask berukuran 3 x 3 masing-masing adalah sebagai berikut :

(Keterangan : Tanda . menyatakan posisi (0,0) dari kernel)

Karena konvolusi dilakukan per pixel dan untuk setiap pixel dilakukan operasi perkalian dan penjumlahan, maka jelas konvolusi mengkonsumsi banyak waktu. Jika citra berukuran N x N dan kernel berukuran m x m, maka jumlah perkalian adalah dalam orde N2m2. Sebagai contoh jika citra berukuran 512 x 512 dan kernel berukuran 16 x 16, maka ada sekitar 32 juta perkalian yang dibutuhkan. Ini jelas tidak cocok untuk proses yang real time tanpa perangkat keras yang dedicated. 

Satu cara mengurangi waktu komputasi adalah mentransformasi citra dan kernel ke dalam ranah frekuensi (dengan menggunakan Transformasi Fourier – akan diuraikan di Bagian ke-tiga), selanjutnya konvolusi dilakukan dalam ranah waktu. Keuntungan utama dari penggunaan ranah frekuensi adalah proses konvolusi dapat diterapkan dalam bentuk perkalian langsung.

Sumber :

https://sites.google.com/site/riksongultom/materi-mkom/matematika-dan-statistika-untuk-komputasi/konvolusi-dan-transformasi-fourier

http://topikisblog.blogspot.co.id/2015/01/konvolusi-pada-pengolahan-citra.html